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Calcul des variations et équations différentielles
Composition de l'équipe
Denis BONHEURE (chercheur associé)
Alexandra CONVENT
Jalman DE LIMA
Sébastien DE VALERIOLA
Christian FABRY
Patrick HABETS
Jean MAWHIN
Augusto PONCE
Adilson PRESOTO
André RONVEAUX
Jean VAN SCHAFTINGEN
Michel WILLEM
Description des recherches
Le groupe de recherche en calcul des variations et équations différentielles s'intéresse à des problèmes aux limites pour des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles non linéaires.
Nous nous intéressons à la question de l'existence de solutions à ces problèmes. Celle-ci peut être abordée par des méthodes topologiques, comme la théorie du degré de coïncidence, méthode topologique souple et puissante, abondamment utilisée et reprise dans plusieurs traités récents d'analyse non linéaire. Une seconde famille de méthodes se base sur la notion de comparaison, construisant des solutions à partir de sous-solutions et de sur-solutions. Nous avons aussi étudié le comportement de ces méthodes pour des équations aux différences. Enfin, lorsque les solutions d'équations aux dérivées partielles sont des points critiques d'une fonctionnelle, on peut avoir recours à des méthodes variationnelles, qui consistent à trouver des solutions en résolvant un problème de minimisation sous contrainte ou encore un problème de minimax. Nous étudions ainsi l'existence de solutions homoclines et hétéroclines pour des équations différentielles ordinaires, de solutions de l'équation de la courbure moyenne presrite et d'états stationnaires pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Une attention particulière est accordée au problèmes présentant des défauts de compacité, par exemple des problèmes sur des domaines non bornés ou faisant intervenir un exposant critique.
Nous étudions aussi les propriétés des solutions d'équations différentielles. Nous tentons par exemple de déterminer quand les solutions d'un problème symétrique héritent des symétries du problème. Nous avons ainsi pu mettre en évidence des ruptures de symétrie pour l'équation de Hénon. Nous étudions aussi la préservation de symétries partielles pour des solutions nodales et une méthode puissante pour les problèmes de symétrie, la méthode de symétrisation par réarrangement.
Une autre question concerne le comportement asymptotique de solutions d'une famille de problèmes dépendant d'un paramètre, par exemple la limite semi-classique pour les états stationnaires de l'équation de Schrödinger non linéaire.
Les théorèmes d'existence font souvent intervenir une notion de solution faible. Un des objets de la théorie de la régularité est de montrer que ces solutions ont de bonnes propriétés de régularité. Nous nous intéressons en particulier au comportement à l'infini de solutions pour des problèmes dégénérés à l'infini.
L'étude des problèmes évoqués ci-dessus demande de bien comprendre les espaces de fonctions dans lesquels on trouve les solutions. Cela nous conduit à étudier les espaces de fonction dérivables, notamment les espaces de Sobolev, les inégalités dans ces espaces et les propriétés fines des fonctions de ces espaces. Nous nous intéressons en particulier aux espaces de Sobolev dits critiques, qui sont à la limite entre ceux dont les fonctions sont continues et celles dont elles ne le sont pas.
Publications représentatives
- D. Bonheure et J. Van Schaftingen, Bound state solutions for a class of nonlinear Schrödinger equations, à paraître dans Rev. Mat. Iberoamericana volume 24, number 1 (2008), 50 pages.
- J. Van Schaftingen et M. Willem, Symmetry of solutions of semilinear elliptic problems, à paraître dans Journal Eur. Math. Soc.
- D. Bonheure, P. Habets, F. Obersnel et P. Omari, Classical and non-classical solutions of a prescribed curvature equation, J. Differential Equations 243 (2007), 208-237.
- C. Bereanu et J. Mawhin, Existence and multiplicity results for some nonlinear problems with singular -Laplacian, J. Differential Equations 243 (2007), 536-557.
- D. Bonheure et L. Sanchez, Heteroclinic orbits for some classes of second and fourth order differential equations, Handbook of Differential Equations Vol. III, Ed. A. Cañada, P. Drabek, A. Fonda, Elsevier Science (2006) 103-202.
- J. Van Schaftingen, Function spaces between BMO and critical Sobolev spaces, J. Funct. Anal., 236 (2006), no. 2, 490-516.
- C. Bereanu et J. Mawhin, Boundary-value problems with non-surjective $\phi$-Laplacian and one-sided bounded nonlinearity. Adv. Differential Equations 11 (2006), no. 1, 35-60.
- D. Bonheure, J.M. Gomes et P. Habets, Multiple positive solutions of superlinear elliptic problems with sign-changing weight, J. Differential Equations 214 (2005), 36–64.
- T. Bartsch, T. Weth et M. Willem, Partial symmetry of least energy nodal solutions to some variational problems, Journal d’Analyse Mathématique, 96 (2005) 1-18.
- J. Van Schaftingen, Estimates for L1-vector fields, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 339 (2004), no. 3, 181-186.
- Z.Q. Wang et M. Willem, Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities with remainder terms, J. Functional Analysis, 203 (2003) 550-568.
- D. Smets, J. Su et M. Willem, Non-radial ground states for the Hénon eqation, Comm. in Contemporary Mathematics, 4 (2002) 467-480.
Textes de référence
- J. Mawhin, Topological Degree Methods in Nonlinear Boundary Value Problems, American Math. Soc., Providence, RI, 1979.
- J. Mawhin, M. Willem, Critical Point Theory and Hamiltonian Systems, Springer, New York, 1989.
- M. Willem, Minimax Methods, Birkhauser, Boston, 1996.
- M. Willem, Analyse fonctionnelle élémentaire, Cassini, Paris, 2003.
- P. Habets et C. De Coster, Two-Point Boundary Value Problems: Lower and Upper Solutions, Elsevier, 2006.
Preprints (en format PDF)
- Denis Bonheure et Miguel Ramos, Multiple critical points of perturbed symmetric strongly indefinite functionals, preprint. [PDF]
- Denis Bonheure, Patrick Habets, Franco Obersnel et Pierpaolo Omari, Classical and non-classical solutions of a prescribed curvature equation with singularities, preprint. [PDF]
- Denis Bonheure, Enrico Serra et Massimo Tarallo, Symmetry of optimal functions in Moser-Trudinger inequalities and a Hénon type problem in dimension two, à paraître dans Advances in Differential Equations. [PDF]
- Denis Bonheure, Vincent Bouchez, Christopher Grumiau, Jean Van Schaftingen, Asymptotics and symmetries of least energy nodal solutions of Lane-Emden problems with slow growth, à paraître dans Comm. Contemp. Math. [PDF]
- Denis Bonheure et Jean Van Schaftingen, Bound state solutions for a class of nonlinear Schrödinger equations, Rev. Mat. Iberoamericana, in press. [PDF]
- Denis Bonheure et Michel Willem, Systèmes Hamiltoniens : un aperçu variationnel, à paraître dans Les Techniques de l'Ingénieur, Dossier AF230. [PDF]
- J. Van Schaftingen, M. Willem, Symmetry of solutions of semilinear elliptic problems, à paraître dans J. Eur. Math. Soc. (JEMS). [PDF]
- P. Bousquet, A. Ponce, J. Van Schaftingen, A case of density in W2,p (M;N), à paraître dans C.R.Math. [PDF]
- J. Van Schaftingen, Estimates for L1-vector fields under higher-order differential conditions, à paraître dans J. Eur. Math. Soc. (JEMS). [PDF]
- S. Chanillo and J. Van Schaftingen, Subelliptic Bourgain-Brezis Estimates on Groups, preprint. [PDF]
- H. Brezis et M. Willem, On some nonlinear equations with critical exponents (december, 2007) [PDF]
Listes bibliographiques des membres de l'équipe
Liens utiles
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