Systèmes intégrables, matrices aléatoires et géométrie complexe

Composition de l'équipe

Mattia CAFASSO
Jonathan DELEPINE
Luc HAINE
Eric NORDENSTAM
Didier VANDERSTICHELEN
Pierre VAN MOERBEKE

Description des recherches

La théorie moderne des systèmes dynamiques est le prolongement naturel des travaux de mécanique classique remontant à Henri Poincaré. On distingue deux types de systèmes dynamiques se situant aux deux extrémités du spectre : les systèmes intégrables, dont la dynamique est prévisible et dont les solutions se rattachent à la géométrie algébrique et la théorie des groupes, et les systèmes chaotiques, dont le comportement est imprévisible et qu’on ne peut étudier que statistiquement. Depuis les années 1950, de grands progrès ont été réalisés dans la compréhension des systèmes proches de ceux qui sont intégrables, et une foule de nouveaux systèmes intégrables ont été mis à jour à partir des années 1970, via la découverte d’équations aux dérivées partielles intégrables. Notamment, la célèbre équation de Korteweg-de Vries, qui décrit les ondes sur l’eau dans un canal peu profond, et l’équation de Schrödinger non-linéaire, qui décrit des ondes longues dans une fibre optique. Toutes ces équations aux dérivées partielles non-linéaires ont en commun les caractéristiques suivantes: ce sont des équations de la mécanique hamiltonienne, admettant des ondes solitaires (solitons), plutôt que des trains d'onde; elles ont des constantes du mouvement, liées aux spectres de certains opérateurs associés ; leurs symétries « cachées » s’expliquent via la théorie des algèbres de Lie de dimension infinie. Enfin, leurs solutions peuvent toutes s'exprimer en termes de certaines fonctions spécifiques du temps, les fonctions "tau", liées aux variétés grassmanniennes de dimension infinie, et elles-mêmes solutions de l'équation aux dérivées partielles non-linéaire de Kadomtsev-Petviashvili (KP), une autre équation de nature hydrodynamique. Les fonctions "tau" peuvent être des polynômes de Schur, relevant de la théorie des représentations des groupes; elles englobent les fonctions "thêta", que Bernhard Riemann a introduit dans le cadre de la géométrie des courbes algébriques; elles peuvent aussi être des déterminants de Fredholm.

Au cours des quinze dernières années, de nombreux problèmes se rattachant à la géométrie algébrique, la combinatoire et les probabilités, ont été résolus « explicitement » par des méthodes inspirées des techniques issues de la résolution de l’équation de Korteweg-de Vries. Les recherches de l’équipe sont centrées sur ce nouvel apport des systèmes intégrables à la géométrie et la physique mathématique. Les thèmes de recherches sont :

L’étude de nouvelles fonctions "tau" apparues dans le cadre des théories de jauge quantique. Ceci a conduit à des modèles matriciels (gravité quantique) ; les intégrales matricielles associées ont des développements en séries "perturbatives", dont les termes comptent les triangulations sur des surfaces (graphes de Feynman). Ces fonctions donnent des informations sur la topologie des espaces de modules des surfaces de Riemann et sont étroitement liées à la théorie des représentations des algèbres de Virasoro et des W-algèbres.
L’étude des matrices aléatoires, domaine très vivant et important de la recherche, qui établit des liens profonds avec plusieurs problèmes, par exemple avec la combinatoire, les probabilités, la théorie des nombres, les modèles de croissances et de pavages aléatoires et les questions de technologie de la communication. La question majeure pour les matrices aléatoires est d’examiner la densité moyenne de leur spectre pour des matrices de grande taille (satisfaisant à certaines conditions de symétrie) et leur fluctuation autour de cette distribution d’équilibre. Ces distributions de probabilité pour le spectre de matrices aléatoires sont décrites par des déterminants de Fredholm. Ces déterminants limites dépendent de régimes différents (changement d’échelles) menant à des comportements statistiques différents près du bord du spectre, près d’un vide dans le spectre ou dans le « gros » du spectre. Des comportements statistiques intéressants et nouveaux sont apparus et sont liés à des équations différentielles ordinaires et des équations aux dérivées partielles non-linéaires (par exemple les équations de Painlevé) ; de plus, ces distributions revêtent toutes un caractère « universel » au sens que la limite ne dépend que des propriétés grossières de la matrice comme des conditions de symétrie. Certains de ces modèles sont étroitement liés à des modèles de mécanique statistique (Six-vertex model, Impenetrable Bose gas, etc…)
Freeman Dyson a introduit de la dynamique dans les modèles de matrices aléatoires qui reflète une lente évolution des paramètres physiques ; le spectre se comporte alors comme des grands systèmes de mouvements browniens séparés les uns des autres par une force de Coulomb. Le comportement de ces diffusions de dimension infinie près du point critique (bord, vide, etc.) donne lieu à des transitions de phase intéressantes qui sont examinées du point de vue de l’asymptotique, des probabilités de transition et des grandes déviations. La méthodologie consiste à formuler la question en termes de problème de Riemann-Hilbert, ce qui permet l’utilisation de la méthode du col qui a connu des progrès importants les dix dernières années. Les équations intégrables et les équations de l’algèbre de Virasoro (liées aux modèles matriciels sous-jacents) y jouent un rôle fondamental.

Publications représentatives

M. Adler, P. van Moerbeke, A matrix integral solution to two-dimensional Wp-gravity, Comm. Math. Phys. 147 (1992), 25-56.
L. Haine, E. Horozov, Toda orbits of Laguerre polynomials and representations of the Virasoro algebra, Bull. Sc. Math. 117 (1993), 485-518.
M. Adler, T. Shiota, P. van Moerbeke, Random matrices, Virasoro algebras, and noncommutative KP, Duke Math. J. 94 (1998), 379-431.
F.A. Grünbaum, L. Haine, Some functions that generalize the Askey-Wilson polynomials, Commun. Math. Phys. 184 (1997), 173-202.
L. Haine, J.P. Semengue, The Jacobi polynomial ensemble and the Painlevé VI equation, J. Math. Phys. 40, n° 4 (1999), 2117-2134.
L. Haine, P. Iliev, Commutative rings of difference operators and an adelic flag manifold, Int. Math. Res. Not. 6 (2000), 281-323.
M. Adler, P. van Moerbeke, Integrals over classical groups, random permutations, Toda and Toeplitz lattices, Commun. Pure Appl. Math. 54 (2001), 153-205.
M. Adler, P. van Moerbeke, Hermitian, symmetric and symplectic random ensembles: PDE’s for the distribution of the spectrum, Annals of Math. 153 (2001), 149-189.
L. Haine, P. Iliev, Askey-Wilson type functions with bound states, Ramanujan J. 11 (2006), 285-329.
M. Adler, P. van Moerbeke, PDE’s for the Gaussian ensemble with external source and the Pearcey distribution, Commun. Pure Appl. Math. 60 (2007), 1261-1292.
L. Haine, KP trigonometric solitons and and adelic flag manifold, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 3, Paper 015 (2007), 15 pp.
M. Adler, J. Delepine, P. van Moerbeke, Dyson's non-intersecting Brownian motions with a few outliers, Comm. Pure Appl. Math. 62 (2009), 334-395.
L. Haine, E. Horozov, P. Iliev, The trigonometric grassmannian and a difference W-algebra, Transformation Groups (2009), to appear.

Textes de référence

M. Adler, P. van Moerbeke, P. Vanhaecke, Algebraic Integrability, Painlevé Geometry and Lie Algebras, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Vol. 47 (2004), Springer.
P. van Moerbeke, Random and Integrable Models in Mathematics and Physics. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0712/0712.3847v1.pdf

Liens utiles

| contact : Luc Haine | 26/02/2010 |