Algèbre et théorie des groupes

Description des recherches

Les recherches sont effectuées autour des axes suivants :

Groupes algébriques et formes quadratiques. Les recherches portent principalement sur des questions de nature arithmétique concernant les corps commutatifs, notamment celles qui se traduisent en termes d'algèbres à division ou de formes quadratiques. Les relations entre ces deux sujets sont multiples et se formalisent au sein de la théorie des groupes algébriques linéaires. L'étude des involutions de type orthogonal sur les algèbres simples centrales est développée sur le modèle de la théorie algébrique des formes quadratiques, au moyen de divers invariants classiques (discriminant, signature, algèbres de Clifford) et de techniques de cohomologie galoisienne. Les principaux résultats obtenus concernent la classification des algèbres à involution et la définition d'invariants cohomologiques de groupes classiques.

Théorie géométrique des groupes. On s'intéresse à la structure de groupes qui disposent naturellement d'actions sur des espaces de nature géométrique. Outre le cadre classique des groupes de Lie et groupes algébriques semi-simples et de leurs sous-groupes discrets, on considère des généralisations en dimension infinie tels que les groupes de Kac-Moody. Ces exemples particuliers sont mis en perspective au sein d'une analyse plus globale des groupes topologiques, dont les questions centrales portent sur la rigidité, la linéarité, les propriétés de finitude et l'existence et la classification de réseaux.

Publications représentatives

• M. Rost, J-P. Serre, J-P. Tignol. La forme trace d’une algèbre simple centrale de degré 4, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I 342 (2006) 83-87.
• J.-F. Renard, J-P. Tignol, A.R. Wadsworth. Graded Hermitian forms and Springer’s theorem, Indag. Math. 18 (2007) 97-134.
• G. Berhuy, Ch. Frings, J-P. Tignol. Serre’s conjecture II for classical groups over imperfect fields, J. pure app. Algebra 211 (2007) 307-341.
• S. Garibaldi, R. Parimala, J-P. Tignol. Discriminant of symplectic involutions, Pure and Applied Mathematics Quarterly 5 (2009) 349-374.
• P.-E. Caprace et N. Monod. Some properties of non-positively curved lattices. C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I 346 No. 15-16 (2008), 857-862.
• P.-E. Caprace. A uniform bound on the nilpotency degree of certain subalgebras of Kac-Moody algebras. J. Algebra 317 (2007), pp.867-876.
• P.-E. Caprace et B. Rémy. Simplicity & superrigidity of twin building lattices. Invent. Math. 176 (2009), pp.169-221.
• P.-E. Caprace et B. Mühlherr.  Isomorphisms of Kac-Moody groups. Invent. Math. 161 (2005), n°2, pp.361-388.