Mathématique et physique des milieux continus

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5.00 crédits

30.0 h + 30.0 h

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

Ce cours suppose acquises les notions de base d’analyse et d’algèbre telles qu'enseignées dans les cours LEPL1101, LEPL1102 et LEPL1105.

Thèmes abordés

Il s’agit d’un cours introductif et de découverte, qui porte sur la description des milieux continus, de champs associés (déformations, taux de déformation, contraintes, champs scalaires et vectoriels), ainsi que de certains phénomènes physiques fondamentaux qui dépendent de l’espace, et aussi du temps dans certains cas; et donc exprimés par des équations au dérivées partielles (EDPs): EDP de transport, EDP de Laplace, EDP de Poisson, EDP de diffusion, EDP d’onde.
Le lien entre les phénomènes physiques qui ont lieu dans les milieux continus et leur description mathématique par des EDPs est primordial et est présenté de façon imbriquée et structurée. Les méthodes mathématiques permettant d’obtenir la solution de problèmes physiques fondamentaux sont aussi introduites au fur et à mesure, et sont appliquées dans des cas simples en 1-D (milieu infini et milieu borné) et en 2-D (milieu infini et milieu borné de géométrie simple: rectangle, cercle, anneau, segment de cercle ou d’anneau). Les champs induits (solution de l’EDP de Poisson) en milieu infini 2-D et 3-D sont aussi couverts, car applications en électrostatique, en électromagnétisme, en gravitation.
Note: la notion de «relation constitutive» pour, par exemple, relier contraintes et déformations en élasticité, ou relier contraintes et taux de déformation pour les fluides est aussi introduite, mais de façon limitée/simplifiée; car sinon le problème posé n’est pas complet, et donc pas soluble. Cela permet aussi que les étudiants soient capables d’appréhender une variété de problèmes avancés dans un/des cours en aval.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
Contribution du cours au référentiel du programme AA1.1, AA1.2, AA6.1 Acquis d'apprentissage spécifiques au cours À l'issue de ce cours, l'étudiant.e sera à même de : Comprendre les concepts de milieu continu et champs; Utiliser les « outils » tenseurs pour généraliser les concepts et simplifier les notations; Utiliser les propriétés des tenseurs, obtenir les invariants, directions et valeurs principales, savoir effectuer un changement de repère; Utiliser l’analyse tensorielle pour des champs (scalaire et vectoriel) et des tenseurs cinématiques et de contraintes; Décrire la cinématique de milieux continus (configurations de référence et actuelle, descriptions du mouvement, dérivée matérielle), les tenseurs de mesures de déformation (uniaxiales et multiaxiales), les tenseur de gradient de vitesse (taux de déformation et taux de rotation); Utiliser le tenseur des contraintes, obtenir les invariants, directions et valeurs principales, leur décomposition (composantes sphérique et déviatoire), les conditions limites (contrainte normale et de cisaillement), utiliser les cercles de Mohr pour des cas simples; Comprendre les lois de conservation (formes globale et locale), les notions de volume matériel et volume de contrôle et l’utilisation du théorème de transport de Reynolds et ses variantes, pour la conservation de la masse, de la quantité de mouvement, et du moment de quantité de mouvement, l’énergie interne totale (y compris considérations thermodynamique, premier principe de la thermodynamique); Comprendre la fermeture de problème par l’introduction de lois de constitution et la formation d’un système d’EDPs, utiliser ces concepts pour les lois de diffusion de la chaleur et l’élasticité linéaire; Comprendre et différencier les phénomènes physiques fondamentaux régis par des EDPs d’ordre 1 (équation de transport) et d’ordre 2 (équation de Laplace, équation de Poisson, équation de diffusion, équation d’onde). Définir et appliquer des conditions initiales et/ou aux limites (Dirichlet, Neumann, Robin) adéquates; Appliquer la méthode des caractéristiques pour résoudre l’équation de transport 1-D et l'équation d'onde 1-D; Comprendre le concept d’opérateurs auto-adjoints, de valeurs propres et fonctions propres, d’orthogonalité des fonctions propres, de développement d'une fonction en série de fonctions propres; Appliquer la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation de Laplace dans un rectangle, un (secteur de ) cercle, un (secteur d') anneau, et aussi l’équation de Poisson; Appliquer la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation de diffusion dans un segment, un rectangle, un cercle; Appliquer la méthode de séparation des variables pour résoudre l'équation d'onde dans un segment, un rectangle, un cercle.

Contenu

Introduction :
Échelles (du microscopique au macroscopique), concept du Volume Élémentaire Représentatif, hypothèses fondamentales et représentation en champs.

Éléments de calcul tensoriel :
Les tenseurs comme « outil » permettant de généraliser les concepts (e.g, vers le 2-D et le 3-D) et de simplifier les notations. Tenseurs: ordre, bases orthonormées, transformation des composantes, convention d’Einstein. Tenseurs du second ordre: motivation, propriétés, invariants, directions et valeurs principales, changement de repère. Analyse tensorielle: champ scalaire, champ vectoriel, coordonnées. Exemples : tenseurs cinématiques (de déformation, de taux de déformation), tenseurs des contraintes. Solution en déplacements pour des déformations données: compatibilité des déformations.

Cinématique des milieux continus :
Configurations de référence et actuelle. Descriptions du mouvement : lagrangienne et eulérienne. Dérivée temporelle matérielle, vitesse et accélération matérielles. Gradient de transformation. Tenseurs de mesure de déformation, mesures de déformation (uniaxiales et multiaxiales). Tenseur gradient de vitesse (décomposition en taux de déformation et taux de rotation).

Mesures de contraintes :
Contrainte vraie (de Cauchy) et vecteur de contrainte. Tenseur des contraintes de Cauchy, invariants, directions et valeurs principales, décomposition (composantes sphérique et déviatoire). Contraintes agissant sur une face: contrainte normale et de cisaillement. Cercles de Mohr, avec exemples de charges simples.

Lois de conservation :
Des formes globales aux formes locales : Volume matériel et volumes de contrôle. Transport : théorème de transport de Reynolds et variantes ; lien avec les théorèmes intégraux du cours Analyse 2). Conservation de la masse, et exemples. Conservation de la quantité de mouvement, et exemples. Conservation du moment de quantité de mouvement, symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy.

EDP de transport : cas linéaire 1-D et solution par la méthode des caractéristiques  (cas avec vitesse c constante, cas conservatif avec vitesse c(x)) . Cas non-linéaire et solution par la méthode des caractéristiques ; apparition de discontinuité (= saut), relation de saut et vitesse de la discontinuité : équation de Burgers. modèle LWR du trafic routier et exemples (bouchon, démarrage au feu vert).

Énergie et considérations thermodynamiques : Théorème de l’énergie cinétique, premier principe de la thermodynamique, énergie interne, forme locale.

Phénomènes de diffusion :
Loi de Fourier pour la diffusion de la chaleur dans un solide ou fluide. Obtention de l’EDP de diffusion par volume de contrôle infinitésimal (cas 1-D et 2-D). Écriture sous forme indicielle et vectorielle. Diffusion avec ajout d’un terme source.

Diffusion en milieu infini 1-D et 2-D : obtention de la « fonction de Green » pour condition initiale (CI) ponctuelle. Solution par convolution avec la fonction de Green pour cas avec condition initiale répartie.

Diffusion en milieu fini 1-D (= segment) avec CI générale et conditions limites (CLs) de type Dirichlet ou Neumann ou Robin (= mixte) ; éventuellement aussi avec terme source : solution en régime (satisfait les CLs) ; solution transitoire avec CLs homogènes obtenue par la « méthode de séparation des variables » ; et exprimée en « série de Fourier » (avec « fonctions propres » et « valeurs propres » associées, et « orthogonalité » des fonctions propres).

Diffusion en milieu fini 2-D (= rectangle, cercle, anneau, secteur de cercle ou d’anneau) avec CI générale et CLs : solution en régime (= équation de Laplace, satisfait les CLs) obtenue par séparation des variables ; solution transitoire avec CLs homogènes obtenue par séparation des variables.

Champs induits :
EDP de Poisson.

Milieux infinis : obtention de la « fonction de Green » en 2-D et en 3-D. Exemples : champ électrique induit par une charge électrique ponctuelle, champ gravitationnel induit par une masse ponctuelle, champ magnétique induit par un courant électrique. Solution par convolution avec la fonction de Green pour cas avec source répartie.

Milieux finis 2-D (rectangle, cercle) avec CLs homogènes : solution par séparation des variables.

Phénomènes ondulatoires :
EDP d’onde en 1-D. Solution par la méthode des caractéristiques. Ondes stationnaires et exemples (corde de guitare, onde électromagnétique, onde acoustique). Solution en milieu fini avec CLs homogènes par séparation des variables.

EDP d’onde en 2-D. Problème de Helmholtz avec CLs homogènes et orthogonalité des fonction propres. Solutions dans un rectangle et dans un cercle par séparation des variables. Vibration d’une membrane rectangle, circulaire.

Méthodes d'enseignement

Le cours est organisé en 13 cours (CM1 à CM13) en grand auditoire, et 13 séances d'apprentissage par exercices (APE1 à APE13) qui sont réalisées, en partie, en groupes tutorés (avec supervision d'un assistant-tuteur par groupe); et, pour le reste, par du travail personnel en dehors des groupes tutorés.
Le slot de cours prévu en dernière semaine est utilisé: en partie pour une séance Q&A, et en partie pour présenter du contenu complémentaire.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

Les APE ne sont pas corrigés. Les solutions sont mises sur le site web du cours au fur et à mesure de l'avancement du quadrimestre. Cela permet à l'étudiant d'évaluer en continu son niveau de compréhension et d'apprentissage.
Les étudiants sont évalués individuellement, via un examen écrit.

Ressources
en ligne

site Moodle du cours

Bibliographie

Richard Haberman : « Elementary Applied Partial Differential Equations: with Fourier Series and Boundary Value Problems », Prentice Hall.

J. N. Reddy: « Mécanique des milieux continus: Introduction aux principes et application »
Les documents du cours (syllabus, notes complémentaires, copie des support visuels, énoncés et solutions des APEs) sont mis à disposition sur le site Moodle du cours.

Faculté ou entité
en charge

> BTCI

Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)

Intitulé du programme

Sigle

Crédits

Prérequis

Acquis
d'apprentissage

Bachelier en sciences de l'ingénieur, orientation ingénieur civil

FSA1BA