5.00 crédits
30.0 h + 22.5 h
Q1
Enseignants
Langue
d'enseignement
d'enseignement
Français
Préalables
Formation de base en calcul numérique (niveau LEPL1104) et en
algèbre linéaire (niveau LEPL1101)
algèbre linéaire (niveau LEPL1101)
Thèmes abordés
Le cours se base sur les solides fondements mathématiques de la
théorie des matrices pour élaborer des solutions algorithmiques
aux challenges majeurs actuels impliquant des calculs sur/avec des
matrices définies sur un corps (pas sur un anneau)
● Rappels d’algèbre linéaire
● Décompositions en valeurs propres et singulières
● Application aux multiples versions de least squares
(iterative ls, total ls)
● Théorie de Perron-frobenius
● Résolution numérique des systèmes linéaires : méthodes
itératives
● Factorisation QR
● Résolution numérique des problèmes matriciels aux
valeurs et vecteurs propres
théorie des matrices pour élaborer des solutions algorithmiques
aux challenges majeurs actuels impliquant des calculs sur/avec des
matrices définies sur un corps (pas sur un anneau)
● Rappels d’algèbre linéaire
● Décompositions en valeurs propres et singulières
● Application aux multiples versions de least squares
(iterative ls, total ls)
● Théorie de Perron-frobenius
● Résolution numérique des systèmes linéaires : méthodes
itératives
● Factorisation QR
● Résolution numérique des problèmes matriciels aux
valeurs et vecteurs propres
Acquis
d'apprentissage
d'apprentissage
A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de : | |
| Eu égard au référentiel AA, ce cours contribue au développement, à l'acquisition et à l'évaluation des acquis d'apprentissage suivants : ● AA1.1, AA1.2, ● AA2.1, AA2.4 ● AA4.2, AA4.3 ● AA5.1 Plus précisément, au terme du cours, l'étudiant sera capable de : ● Maitriser l’algèbre linéaire numérique ● Utiliser les outils du calcul matriciel pour (analyser les propriétés mathématiques de) différents problèmes en mathématiques appliquées comme en statistique, en traitement du signal, en imagerie et en systèmes dynamiques. ● Analyser en profondeur diverses méthodes et algorithmes représentatifs en matière de résolution numérique par ordinateur de classes significatives de problèmes scientifiques ou techniques, en relation avec les thèmes sous-jacents de mathématiques appliquées. ● Implémenter des méthodes dans un logiciel de haut niveau et vérifier son comportement sur un problème pratique. Acquis d'apprentissage transversaux : ● Travailler en petite équipe pour résoudre un problème mathématique de façon numérique. |
|
Contenu
Après une introduction qui rappelle quelques notions de base, on
discute des sujets suivants :
1. Rappels et compléments sur la théorie des valeurs propres
2. Décomposition en valeurs singulières et applications :
décomposition polaire, angles entre espaces, inverse généralise,
projecteurs, problème de moindre carrés, régularisation
3. Approximation et caractérisation variationnelle: théorèmes de
Courant-Fischer et Wielandt-Hoffmann, champ des valeurs,
théorème de Gershgorin
4. Matrices à éléments positifs : théorème de Perron-Frobenius,
matrices stochastiques
5. Calcul en virgule flottante.
6. Stabilité, précision et conditionnement des algorithmes.
7. Méthodes directes de résolution de système : LU, Choleski,
pivotage, renumérotation (RCMK), stockage creux, remplissage.
8. Méthodes itératives de Krylov : itération d’Arnoldi, gradients
conjugués, GMRES, Lanczos.
9. Calcul de valeurs propres, algorithme QR
discute des sujets suivants :
1. Rappels et compléments sur la théorie des valeurs propres
2. Décomposition en valeurs singulières et applications :
décomposition polaire, angles entre espaces, inverse généralise,
projecteurs, problème de moindre carrés, régularisation
3. Approximation et caractérisation variationnelle: théorèmes de
Courant-Fischer et Wielandt-Hoffmann, champ des valeurs,
théorème de Gershgorin
4. Matrices à éléments positifs : théorème de Perron-Frobenius,
matrices stochastiques
5. Calcul en virgule flottante.
6. Stabilité, précision et conditionnement des algorithmes.
7. Méthodes directes de résolution de système : LU, Choleski,
pivotage, renumérotation (RCMK), stockage creux, remplissage.
8. Méthodes itératives de Krylov : itération d’Arnoldi, gradients
conjugués, GMRES, Lanczos.
9. Calcul de valeurs propres, algorithme QR
Méthodes d'enseignement
- Séances de cours selon les modalités fixées par l'EPL.
- Devoirs/projet à réaliser de façon individuelle ou en groupe.
- Les détails d'organisation sont spécifiés chaque année dans le plan de cours sur moodle.
distanciel.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants
des acquis des étudiants
Les étudiants sont évalués en partie sur la base d'un examen
(écrit, voire oral selon les circonstances) organisé selon les
modalités fixées par l'EPL. La matière de l'examen correspond au
contenu des cours et des supports de cours, après éventuelle
suppression de certains passages.
En cas de doutes à l'issue d'une épreuve écrite, les titulaires se
réservent le droit de convoquer les étudiants concernés pour un
examen oral.
L'autre partie de l'évaluation repose sur des devoirs, projets et
présentations réalisés pendant le quadrimestre. Cette note
acquise durant le quadrimestre entre en compte pour les deux
sessions d'examen.
(écrit, voire oral selon les circonstances) organisé selon les
modalités fixées par l'EPL. La matière de l'examen correspond au
contenu des cours et des supports de cours, après éventuelle
suppression de certains passages.
En cas de doutes à l'issue d'une épreuve écrite, les titulaires se
réservent le droit de convoquer les étudiants concernés pour un
examen oral.
L'autre partie de l'évaluation repose sur des devoirs, projets et
présentations réalisés pendant le quadrimestre. Cette note
acquise durant le quadrimestre entre en compte pour les deux
sessions d'examen.
Ressources
en ligne
en ligne
http://moodleucl.uclouvain.be/course/view.php?id=7969
Bibliographie
Ouvrages de référence :
● G.H. Golub and C.F. Van Loan (1989). Matrix
Computations, 2nd Ed, Johns Hopkins University Press,
Baltimore.
● P. Lancaster and M. Tismenetsky (1985). The Theory of
Matrices, 2nd Ed, Academic Press, New York
● Trefethen, L. N., & Bau III, D. Numerical linear algebra
(Vol. 50). Siam.
● LINMA 2380 Course notes by R.J. et al
● G.H. Golub and C.F. Van Loan (1989). Matrix
Computations, 2nd Ed, Johns Hopkins University Press,
Baltimore.
● P. Lancaster and M. Tismenetsky (1985). The Theory of
Matrices, 2nd Ed, Academic Press, New York
● Trefethen, L. N., & Bau III, D. Numerical linear algebra
(Vol. 50). Siam.
● LINMA 2380 Course notes by R.J. et al
Faculté ou entité
en charge
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