Nonlinear dynamics

Enseignants

Crucifix Michel;

Langue
d'enseignement

Anglais
> Facilités pour suivre le cours en français

Préalables

LMAT1122 et LMAT1261 pour les étudiant.e.s du Bachelier en sciences physiques qui souhaitent suivre cette unité d'enseignement dans le cadre de l'Approfondissement en sciences physiques.

Thèmes abordés

Cette unité d'enseignement consiste en une introduction aux concepts et méthodesmathématiques de la théorie des systèmes dynamiques et ses applications en physique, chimie, biologie et les sciences de l'ingénieur.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	a.     Contribution de l'activité au référentiel AA du programme 1.1, 1.3, 1.4, 2.1, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 b.     Formulation spécifique pour cette activité des AA du programme Au terme de cette unité d'enseignement, l'étudiant.e sera capable de : 1.    utiliser des outiles mathématiques afin de caractériser les propriétés des systèmes dynamiques non linéaires discrets et continus ; 2.    caractériser la dynamique chaotique d'un système.

Contenu

Cette unité d'enseignement offre à l'étudiant une introduction à la théorie mathématique des systèmes dynamiques et à ses applications aux problèmes de physique, de chimie, de biologie et d'ingénierie.
L'unité d'enseignement couvre les sujets suivants :
1. Concepts de base : définition d'un système dynamique, exemples de systèmes dynamiques continus et discrets, points d'équilibre hyperboliques et stabilité, bifurcations (avec des exemples issus de la physique)
2. Linéarisation, variétés stables et instables : dynamique des systèmes linéaires, classification des points fixes en dimension deux, linéarisation autour des points fixes hyperboliques, variétés stables et instables, analyse perturbative ;
3. Le théorème de Poincaré-Bendixon : régions piégeantes, cycles limites et ensembles limites, l'application de Poincaré, le théorème de Poincaré-Bendixon, applications (existence d'orbites périodiques, systèmes de Liénard).
4. Orbites périodiques, avec une introduction aux phénomènes de résonance
5. Systèmes discrets : concepts de base, chaos et sensibilité aux conditions initiales, itinéraires, conjugaison topologique, l'application logistique, multiplicateur de Floquet, application du cercle

Méthodes d'enseignement

Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux, des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs relations avec d'autres disciplines scientifiques.
Les séances de travaux pratiques visent à appliquer les concepts vus au cours théorique à des problèmes concrets, choisir et utiliser des méthodes de calcul pour leur analyse et interpréter les résultats obtenus.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit. Il porte sur l'application de la théorie des systèmes dynamiques à des problèmes concrets. On y teste la connaissance et la compréhension des notions vues au cours théorique, la capacité d'analyser un problème de systèmes dynamiques, la maîtrise des techniques de calcul et la présentation cohérente de cette analyse.
Le résultat de l'évaluation continue represente 4 points sur 20 : elle servira pour chaque session et ne pourra pas être représenté.
L'examen de septembre, quand il est présenté, est oral avec préparation écrite. 

Ressources
en ligne

Le site MoodleUCL de cette unité d'enseignement contient les énoncés des exercices des travaux pratiques, des examples sous la forme de "Jupyter notobooks" ainsi qu'une bibliographie complète.

Bibliographie

The main and only compulsary reference is available online. 
Additional references used to prepare the lecture include 
▷ S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos. Westview Press 1 7 (2015).
▷ S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer (2003)
▷ R. Hilborn, Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers (2nd edn) , Oxford University Press (2000)
▷ H. Dijkstra, Nonlinear Physical Oceanography, A Dynamical Systems Approach to the Large Scale Ocean Circulation and El Ni˜no, Springer Science+Business Media (2000)
▷ Alligood K., T. Sauer and J. Yorke (1997), Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer (NewYork) ▷ Perko L. (2001), Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, ISBN 978-1-4612-6526-9

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Support de cours

• Nonlinear dynamics - note de cours (M. Crucifix). Disponible en ligne gratuitement.

Faculté ou entité
en charge

> PHYS